The word כרמיל appears three times in II Chronicles, always together with תכלת and ארגמן:

דה”ב ב:ו

ובארגון וכרמיל ותכלת

דה”ב ג:יד

תכלת וארגמן וכרמיל ובוץ

דה”ב כ:יג

בארגמן בתכלת ובבוץ ובכרמיל

HALOT takes it as a loanword from Sanskrit krmi and Persian kirm meaning worm to denote a crimson dye produced by worms.

The English word crimson derives from the same Sanskrit root.